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素数是什么数 一文解读素数及素数公式原理(图文)

发布时间:2020-11-17 17:00:43 作者:编辑 栏目:推荐 阅读量:()

素数的分布规律至欧几里德以来就是个迷。今天,我们来认识下,素数的重要分布规律——素数定理。这是目前发现的,最重要的且被证明限制素数分布的定理之一。

人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理!

欧几里德

欧几里德在大约公元前300年,就漂亮地证明了素数有无数个,从此人们开始了寻找素数公式的历程。

大数学家欧拉在给丹尼尔·伯努利的一封信中写道:"素数的计算公式,在我们这辈子可能找不到了。不过,我还是想用一个式子来表达它,但并不能表示出所有素数。n^2-n+41,n等于1到40"。

欧拉给出的这个多项式,在n=41时失效了,后来哥德巴赫给欧拉的信中提到:"一个整系数多项式,是不可能对所有整数取到素数的,但有些多项式可以得到很多素数。"

后来欧拉漂亮地证明了哥德巴赫的这个猜想,欧拉对数论的贡献相当多,数论四大定理之一就有个——欧拉定理,而欧拉的素数乘积式,是开启黎曼猜想的金钥匙。

人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理!

欧拉和欧拉乘积式

对素数的研究,欧拉过后,直到高斯才有了进展,大约在1792年,15岁的高斯就发现,素数在自然数中的分布密度,趋近于类似于对数积分的函数。

同时期的数学家勒让德(A.M.Legendre)也提出了等价的猜想,但他们都无法对其证明,至此,这个问题成了数学界的顶级难题,甚至在数学界流传着:如果谁证明了这个猜想,那么他将会得到永生。

人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理!

证我者,得永生!

直到一百多后的1896年,这个猜想才被两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑独立证明,他们的证明都是根据黎曼的思路走的,其中运用到了高深的整函数理论,至此,这个猜想正式升级为定理——素数定理(PNT)

人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理!

素数定理

值得一提的,他们两人一个活了96岁,一个活了98岁。

素数定理还有个初等表达式:

人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理!

素数定理初等表达式

该定理可以推出很多有趣的结论,比如:

N是素数的概率~1/lnN;

第N个素数~NlnN;

这两个推论和PNT互为充要条件。

虽然我们有了PNT,但是PNT给出的绝对误差实在是糟糕透了,比如第10000个素数104729,而PNT给出的是92103,这是数学家不能接受的,我们想要的是准确的素数公式。

直到黎曼在1859年才给出了π(x)的准确表达式:

人类数学中最大的未解之谜——素数公式之素数定理!

黎曼关于素数计数函数π(x)的表达式

但是该表达式基于一个猜想为前提,即大名鼎鼎的黎曼猜想,至今乃是数学界待解决的重要猜想。想了解更多黎曼猜想的趣事,可以阅读我之前的文章呢《若此数学猜想被破解,世界网络将陷入瘫痪!—黎曼猜想》

关键字: 素数

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