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无理数是什么意思(数学基础知识分享)(图文)

发布时间:2020-11-23 16:53:36 作者:编辑 栏目:推荐 阅读量:()

最近2期我讲解了无理数相关知识,其中介绍了无理数是如何被人类发现的,以及无理数到底是不是数做了一次梳理。但是有个问题一直没解决,那就是“无理数”为啥叫“无理”?无理意思是没有道理吗?为啥无理数叫没有道理的数,今天我来谈谈这个问题。

首先还是回归到原始的社会中来,那个时候的原始人并不懂数学,所以对什么是数更是一脸蒙圈,但是为了生存的方便性,原始人不得不自己定义一些东西用于区别。比如上一期提到的计数问题,当一个原始人打猎一天后打了3只兔子,第二天又打了4只兔子,但是3和4还并未被发明出来,请问原始人如何区别第一天和第二天打猎的情况?

无理数中的“无理”二字如何理解?看完后才知道原来是这样的

很简单用“一一对应”法就可以解决,详细操作流程就是,我们暂时命名第一天的兔子为:A1、A2、A3,第二天的兔子为:B1,、B2、B3、B4。那么原始人只需把第一天的兔子A1和第二天的兔子B1拿出来一一对应,然后把A2和B2拿出来对应,再把A3和B3拿出来对应,最后发现B4找不到对应的了,就证明第2天比第1天打的兔子多,于是原始人明白如何计数了。

这种方法虽然在现如今看来非常费力,但是你要考虑到当时的原始社会,文明几乎没发展,人的智力也处于低位,能够发明这种计数方式,已经比其它动物甩了几条街了。

无理数中的“无理”二字如何理解?看完后才知道原来是这样的

从刚刚的例子就可以看出,其实我们最直观能理解的数只有整数,比如0,1,2,3等等。当然随着文明的发展,人们发现仅仅靠整数来计数也不是很方便。比如到了农耕社会时代,张三今天收入1串钱,我们计数为1,但是张三如果以前欠李四1串钱,我们如何表达?还是计数为1显然不合理了,所以此时如果发明负数,那么我就可以计数为:-1。

所以随着负数的发现,人类所拥有的数字就是正整数和负整数。到此为止,我们能够直观理解的数基本已经开发完毕。但是仅仅有了整数还不够,因为数是一个静态的东西,必须要有运算才行,所以人们发明了四种非常容易理解的运算:加、减、乘、除。我们终于可以用整数进行各种加减乘除了,愉快的运算。

无理数中的“无理”二字如何理解?看完后才知道原来是这样的

事情发展到这里还没完,我们发明的整数虽然说用处很大,但是整数这是一个抽象的数学概念,能否看见整数了,于是我们发明了数轴。数轴这个东西太安逸了,我们发明的整数居然可以在数轴上都找到相应的位置来表达,这样一来抽象的数就可以用可视化的数轴上的位置来表示,这又是人类数学上的一个巨大的进步。

但是数轴上的点,我们的整数可以完全表达出来,不过我们很容易发现,数轴上两个整数其实中间是有间隔的,比如数轴上的1和2中间就间隔了一小段。既然数轴上能表示所有数,那么间隔的这一小段肯定也有其它数的存在,比如1和2最中间的这个点,其实就是1/2。发现没?分数可表示中间间隔的一小段的数。而且分数是如何组成的,不就是两个整数相除嘛。所以如果我们把整数定义成我们的基本单位,其实分数也是由基本单位构成。那么就带来一个非常重要的问题。

数轴上两个整数之间的间隔上的数,是否都可以用分数来表示?或者换一种说法,数轴上两个整数之间的间隔的数,是否可以由基本单位构成(注意这里的基本单位就是整数)。要回答这个问题有点难,不过我们凭借直觉可以得出两个结论:两个整数之间的间隔肯定有无限个数存在,因为一条线段理论上可以一直平分下去无休止。而我们又恰好发现,两个整数相除,也就是p/q这个组合,也能表示无限个数,因为整数本身就是无限个。

无理数中的“无理”二字如何理解?看完后才知道原来是这样的

既然两个整数之间的间隔有无限个数存在,而p/q的形式也可以表示无限个数,我们很想当然的就认为p/q这种形式可以把数轴上的所有数都表达出来。这是很直观就能得出的结论,但是随着根号2被发现,人类居然找到了一些“奇葩”的数,这些数居然无法用p/q表达出来,这非常奇怪,很没有道理。难道p/q这种形式不能把数轴上的所有数都表达出来?还存在无法表达的数?

正是由于数轴上存在一些“奇葩”数,不能用p/q表达出来,也就是不能用整数表达出来,所以我们就把这种奇葩数认为是没有道理的数,也就是“无理数”。与之相对应的就是“有理数”,所以我们看一个数到底是否是有理数,就看这个数是否可以表达为p/q这种形式。也就是一个数只要能被整数组合表达出来,我们就说这个数是有理数。

所以大家明白了吧,之所以叫无理数,其没有道理的数就体现在这个数“无法用整数组合进行表达”,仅此而已。而且随着数学的不断发展,我们最开始认为这种奇葩数毕竟在数轴上是占少部分,但是我们惊讶发发现,无理数的数量远远大于有理数的数量,无理数有无限个,有理数也有无限个,但是无理数就是要比有理数更多。为啥两个都是无限个,还能比较谁更多,以后再谈。我是小彭来给您解惑,如果喜欢文章可关注。

关键字: 无理数

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