体积和容积有什么区别(体积和容积的关系)

一．概念描述

现代数学：上、下底面为矩形的直平行六面体称为长方体或矩体。

长方体的上位概念是平行六面体、直平行六面体。对此，《数学辞海·第一卷》给出的定义是：平行六面体，一种简单的棱柱体，指底面是平行四边形的棱柱。侧棱与底面垂直的平行六面体称为直平行六面体。（如下图）。

小学数学：小学数学教材没有给出长方体的定义，而是从“面”、“棱”和“顶点”三个方面的特征去把握长方体。

而。概念解读

(1)长方体的面

围成封闭几何体的平面多边形称为多面体的面。长方体有6个面，其中每个面都是长方形（有可能有2个相对的面是正方形），有3对相对的面，相对的面形状相同、面积相等。

(2)长方体的棱

多面体上两个面的公共边称为多面体的棱。长方体有12条棱，其中有3组相对的棱，每组相对的4条棱互相平行、长度相等（有可能有8条棱长度相等）。

(3)长方体的顶点

长方体有8个顶点，相交于一个顶点的三条棱分别叫作长方体的长、宽，高。一般情况下，把底面中较长的一条棱叫作长，较短的一条棱叫作宽，垂直于底面的棱叫作高。

(4)长体的表面积

长方体六个面面积的和，叫作长方体的表面积。

(5)长方体的体积

长方体的体积是对长方体的一种度量，长方体的体积等长、宽、高之积。如果长方体的长、宽、高分别为a、b、h，则长方体的体积v=abh。

(6)长片体的容积

物体所能容纳物体的体积叫作它们的容积。容积和体积的计算方法相同，但测量所需数据的方法却不同。计量容积一般用体积单位，但计量液体时常用的单位是升和毫升。

三．教学建议

(1)长方体的教学线索

长方体的教学可以从以下四条主线和七个维度来组织教学。

(2)长方体的认识

长方体是最基本的立体图形。通过学习长方体，使学生获得从三维角度分析周围空间的基本活动经验，为后继学习其他立体图形奠定基础，是形成初步的空间观念的重要节点。

华应龙老师在教学这一内容时突出：“活学”而不是“死记”长方体的特征，循序渐进地培养学生的空间想象力。华老师首先从“叠纸成书”动态地引入由面到体的过程：“一张纸片可以看作一个长方形吗？”“50、100、1000张同样的纸片叠加起来呢？”让学生通过想象与观察，认识面与体的联系、区别。然后是“切果成形”：“切一刀得面、切两刀得棱、切三刀得顶点、再切三刀得长方体”的实操过程，“渐次展现长方体的三个要素”。通过触摸积木、观察长方体直观图使学生的“感官活动不断丰富”，并逐步把握面、棱、顶点的内涵和外延。接着是利用模型观察讨论“每个面有4条边，长方体有6个面，为什么是12条棱，而不是24条棱？”，“深入地探究长方体的本质特征”。最后由“为什么直观图只有3个面，有些面像平行四边形？”引出投影成像的演示，解决学生的难点问题，发展学生的空间想象力。

(3)长方体的表面积

在长方体表面积的教学中，突出三视图、展开图与立体图或模型的对应关系，既是解决长方体表面积的基础，也是发展学生空间观念的重要途径。学生在两种图形之间能准确地找到面与面、边与棱的对应关系，才能正确计算长方体的各面面积，进而计算长方体的表面积。学生头脑中对这些对应关系清晰了，二维与三维的相互转换才能顺利实现。长方体表面积的计算不宜固化计算方法，结合实际才能解决学生“丢面”或“多面”的问题，才能让学生形成具体问题具体分析的意识。如在活页夹、纸箱等用料问题的解决中，学生会发现要计算的面不一定是6个，计算方法也不唯一，有繁有简，正确计算的关键是找准对应关系。

(4)长方体的体积

长方体体积的教学一般采用不完全归纳法，如2006年北京版教材第10册第16页安排学生先用16个小正方体摆出两个以上的长方体模型，再根据表格要求观察、填表，然后讨论摆出的长方体的体积与它的长、宽、高的关系，最后归纳长方体体积的计算方法。然而，2007年苏教版教材六年级（上册）第25页采用的是猜想与验证的教学思路。即由第一次用体积单位摆长方体得到体积计算方法的猜想，第二次根据猜想确定体积，再摆一摆验证，从而确立计算公式。在这样的过程中，学生对数学建模过程的经历更为充分。

四．推荐阅读

(1)《几何原本》(欧几里得，陕西科学技术出版社，2003)

该书第552-555页从解析几何的角度，以多个命题形式论证了长方体具有的特性。

(2)《“长方体的认识”教学》（韩海军，《小学教学设计》，2011年第2期）

该文巧妙地从面到体构建起联系，通过学生动手搭建长方体实物模型．观察感知并用课件演示长方体长、宽、高的局部变化引起整体变化的动态过程，通过认识长方体直观图及其画法拓展了学生的知识，培养了学生多角度、多层次观察事物的能力。